\documentclass[12pt,oneside,french]{article}
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\title{Dérivation Formelle du Big Bounce en RGH via les Commutateurs}
\author{Laurent Besson, Yvan Rahbé, Grok 4}
\date{Novembre 2025}
\begin{document}
\maketitle
\section{Introduction}
En Relativité Générale Hypercomplexe (RGH), la non-commutativité quaternionique peut éviter la singularité du Big Bang, menant à un "Big Bounce" où l'échelle $a(t)$ atteint un minimum non nul. Cette dérivation utilise les commutateurs des quadri-vecteurs hypercomplexes pour modifier les équations de Friedmann.
\section{Équations de Friedmann Modifiées}
Dans RGH, les équations cosmologiques incluent $\Theta_{\mu\nu}$ des champs $\Phi$ et $H$:
$$\left( \frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{k}{a^2} + \frac{1}{3} \Theta,$$
où $\Theta \sim \dot{\Phi}^2 + \dot{H}^2 + \kappa \Phi \Gamma \Phi + \lambda H \Gamma H$.
\section{Rôle des Commutateurs}
Les commutateurs $[h_i, h_j] = 2 \epsilon_{ijk} h_k$ induisent une énergie minimale à petite échelle. Près de $a \to 0$, les termes en $H_{\mu i}^j$ dominent, ajoutant un potentiel répulsif:
$$\Theta_{Bounce} \approx \frac{\hbar^2}{a^4} [H, \partial H],$$
où $[H, \partial H]$ provient des dérivées covariantes non commutatives.
\section{Dérivation du Bounce}
Résolvons pour $a(t)$ près du minimum. Posons $\Theta_{Bounce} = \frac{C \hbar^2}{a^4}$ (C constant des commutateurs). L'équation devient:
$$\dot{a}^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho a^2 - k + \frac{C \hbar^2}{3 a^2}.$$
À petite $a$, le terme $\frac{C \hbar^2}{3 a^2}$ domine positivement, empêchant $\dot{a} = 0$ à $a=0$. Le minimum $a_{min} \sim \sqrt[3]{\frac{3 C \hbar^2}{8\pi G \rho}}$ (échelle Planck-like) mène à un rebond: $\ddot{a} > 0$ pour $a < a_{min}$.
\section{Implications}
Ce Big Bounce, émergent des commutateurs RGH, résout la singularité sans inflation ad hoc, testable via des reliques primordiales dans le CMB.
\end{document}
