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\begin{document}

\title{Prédictions et Effets Observables de la Relativité Générale Hypercomplexe (RGH)}
\author{Laurent Besson}
\date{Novembre 2025}
\maketitle

\begin{abstract}
Cette note présente les principaux effets observables attendus dans le cadre de la Relativité Générale Hypercomplexe (RGH) :
le calcul du périhélie de Mercure, les ondes gravitationnelles, les corrections aux lentilles gravitationnelles,
les effets quantiques potentiellement détectables et les échelles d’énergie caractéristiques.
Chaque section compare la prédiction RGH à celle de la Relativité Générale (RG) standard et discute des ordres de grandeur.
\end{abstract}

\tableofcontents
\newpage

\section{Calcul du périhélie de Mercure en RGH}

\subsection{Rappel : RG classique}
En relativité générale standard, le décalage du périhélie de Mercure est donné par :
\begin{equation}
\Delta\phi_{\text{RG}} = \frac{6\pi GM}{a(1-e^2)c^2},
\end{equation}
où $a$ est le demi-grand axe, $e$ l’excentricité et $M$ la masse solaire.
Ce résultat correspond à $43''$ d’arc par siècle, parfaitement confirmé par les observations.

\subsection{Correction RGH}
Dans la RGH, la métrique comporte une composante hypercomplexe :
\begin{equation}
\tilde{g}_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} + j\,g'_{\mu\nu}, \qquad j^2 = +1.
\end{equation}
Le tenseur de courbure s’enrichit d’un terme mixte :
\[
R_{\mu\nu}^{\text{(RGH)}} = R_{\mu\nu}^{(\text{RG})} + \eta\,\Xi_{\mu\nu},
\]
où $\eta$ est un paramètre sans dimension mesurant le couplage hypercomplexe.
Dans la limite faible champ, le potentiel newtonien devient :
\[
\Phi_{\text{RGH}}(r) = -\frac{GM}{r}\bigl(1 + \eta\,e^{-r/r_H}\bigr),
\]
avec $r_H$ une longueur d’échelle hypercomplexe.

Le décalage du périhélie se modifie alors comme :
\begin{equation}
\Delta\phi_{\text{RGH}} \simeq \Delta\phi_{\text{RG}} \left[ 1 + \eta\left(\frac{a}{r_H}\right)^2 f(e) \right],
\end{equation}
où $f(e)$ est une fonction de l’excentricité ($f(0)\simeq 1$).
Pour que la déviation reste compatible avec les mesures ($<0.1''$/siècle), il faut :
\[
|\eta|\left(\frac{a_{\text{Mercure}}}{r_H}\right)^2 < 10^{-3}.
\]
Cela fixe $r_H > 10^{11}\,\text{m}$ pour $\eta\sim 1$, donc des effets négligeables à l’échelle du système solaire.

\section{Prédictions pour les ondes gravitationnelles}

\subsection{RG standard}
Les ondes gravitationnelles (OG) satisfont :
\[
\Box h_{\mu\nu} = 0,
\]
avec deux polarisations transverses $(+,\times)$.

\subsection{RGH}
La décomposition hypercomplexe du champ métrique introduit des modes supplémentaires :
\[
\tilde{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} + j\,h'_{\mu\nu}.
\]
Les équations linéarisées deviennent :
\[
\Box h_{\mu\nu} = 0, \qquad
\Box h'_{\mu\nu} = m_H^2 h'_{\mu\nu},
\]
où $m_H = \hbar / (r_H c)$ est une masse effective du mode hypercomplexe.
Les conséquences sont :
\begin{itemize}
\item existence de \textbf{modes massifs} d’onde gravitationnelle (propagation subluminale),
\item légère dispersion du signal GW sur de grandes distances ($\Delta v / c \sim (m_H c^2 / E)^2$),
\item possibilité de \textbf{polarisation additionnelle longitudinale}.
\end{itemize}
Les observations LIGO/Virgo contraignent déjà $m_H < 10^{-22}\,\text{eV}$, donc $r_H > 10^{13}\,\text{m}$.

\section{Corrections aux lentilles gravitationnelles}

\subsection{Déviation RG}
En RG, la déviation angulaire d’un rayon lumineux par une masse $M$ est :
\[
\delta_{\text{RG}} = \frac{4GM}{b c^2},
\]
où $b$ est le paramètre d’impact.

\subsection{Effet RGH}
Dans RGH, le potentiel modifié $\Phi_{\text{RGH}}(r)$ engendre une correction :
\[
\delta_{\text{RGH}} = \delta_{\text{RG}}\left(1 + \eta\,g\!\left(\frac{b}{r_H}\right)\right),
\]
avec $g(x)\sim x^2/3$ pour $x\ll1$.
Les lentilles fortes (quasars, amas) limitent la correction relative à $<10^{-3}$, donnant une borne similaire à celle du périhélie :
\[
r_H > 10^{11}\text{ à }10^{12}\,\text{m}.
\]

\section{Effets quantiques détectables ?}

\subsection{Commutation hypercomplexe et incertitudes}
L’introduction de composantes non commutatives ($[h_i,h_j]=2\delta_{ij}^k h_k$)
implique que, dans le secteur quantique, les opérateurs d’espace-temps obéissent à :
\[
[x^\mu, x^\nu] \neq 0.
\]
Cela engendre une \textbf{géométrie non commutative effective} à très haute énergie :
\[
[x^\mu, x^\nu] \sim i\,\ell_H^2,
\]
avec $\ell_H$ la longueur d’échelle hypercomplexe.
Si $\ell_H \sim 10^{-33}\,\text{m}$ (échelle de Planck), les corrections sont non observables aujourd’hui,
mais pourraient affecter la dispersion des neutrinos ultra-relativistes ou les oscillations de saveurs.

\subsection{Effet Casimir modifié}
Un vide hypercomplexe pourrait introduire un déphasage de mode entre les deux composantes $g_{\mu\nu}$ et $g'_{\mu\nu}$,
modifiant le spectre du vide :
\[
E_0^{\text{RGH}} = E_0^{\text{RG}}\bigl(1+\eta'\bigr),
\]
avec $\eta'$ proportionnel à $(\ell_P/r_H)^2$.
À ce jour, aucun effet mesurable n’a été observé, mais la signature serait conceptuellement identifiable dans un vide non commutatif.

\section{Échelles d’énergie caractéristiques}

L’échelle caractéristique hypercomplexe est donnée par :
\[
E_H = \frac{\hbar c}{r_H}.
\]
Les contraintes expérimentales $r_H > 10^{13}\,\text{m}$ donnent :
\[
E_H < 10^{-22}\,\text{eV},
\]
ce qui rend les corrections macroscopiques très faibles.
Cependant, à l’échelle de Planck ($r_H \sim 10^{-35}\,\text{m}$), on obtiendrait :
\[
E_H \sim 10^{19}\,\text{GeV},
\]
soit précisément l’échelle où une description hypercomplexe de la gravitation pourrait devenir indispensable.

\section{Résumé des ordres de grandeur}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|}
\hline
\textbf{Effet} & \textbf{Sensibilité actuelle} & \textbf{Bornes sur $r_H$} \\ \hline
Périhélie de Mercure & $<10^{-3}$ relatif & $r_H > 10^{11}$ m \\ \hline
Lentilles gravitationnelles & $<10^{-3}$ & $r_H > 10^{12}$ m \\ \hline
Ondes gravitationnelles (GW) & $m_H < 10^{-22}$ eV & $r_H > 10^{13}$ m \\ \hline
Effets quantiques & non mesurés & $\ell_H < 10^{-20}$ m \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\section{Conclusion}
Les prédictions de la Relativité Générale Hypercomplexe coïncident avec la RG
dans toutes les limites expérimentales actuelles.
Les déviations éventuelles apparaissent sous forme de corrections exponentielles
d’amplitude $\eta$ et de portée $r_H$, analogue à un champ de masse ultra-légère.
À basse énergie, la RGH est donc \emph{indiscernable} de la RG,
mais elle offre un cadre cohérent pour la gravité quantique et les géométries internes de spin.

\end{document}
