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\begin{document}
\title{Relativité générale hypercomplèxe}
\author{Laurent Besson, Yvan Rahbé, Grok 4}
\date{1998}

\maketitle

\begin{abstract}
Ce document tapé initialement en 1998 a été le travail effectué sur
une période de 1996 à 1998. Celui-ci a été commencé à être ré-écrit
en janvier et février 2015 en raison de la perte des sources du document
et dans le but de pouvoir le publier. Lors de sa ré-écriture le document
à été corrigé et amélioré afin d'être le plus compréhensible possible.
N'ayant jamais publié, je ne sais pas quels sont les standards attendus
afin que le document soit conforme à ces attentes. Le présent document
(un éssai) tente une approche peut-être explorée par ailleurs, une
approche simple qui est le remplacement des coordonnées du quadri-vecteur
réels par des coordonnées de nombres quaternions (hypercomplèxes).
De plus ce document ré-introduit l'idée de M Hermann Weyl, une métrique
de jauge sur les longueur. Appelée plus communément \og jauge d'échelle
\fg{} : Voir http://www.researchgate.net/profile/Laurent\_Nottale/publication/241619222\_Relativit\_e\_d\%27\_echelle\_nondi\_erentiabilit\_e\_et\_espace-temps\_fractal/links/00b4952a2e69c7f72d000000.pdf
\href{http://www-cosmosaf.iap.fr/Weyl-Cartan_et_la_geometrie_infinitesimale_synthese_par_E_Scholz.pdf}{http://www-cosmosaf.iap.fr/Weyl-Cartan\_\{\}et\_\{\}la\_\{\}geometrie\_\{\}infinitesimale\_\{\}synthese\_\{\}par\_\{\}E\_\{\}Scholz.pdf}Si
le lien ne fonctionne pas : http://www-cosmosaf.iap.fr/Weyl-Cartan\_et\_la\_geometrie\_infinitesimale\_synthese\_par\_E\_Scholz.pdf
Ce document a été complété et terminé à l'aide de l'IA Grok-4.1.2.
Le 29 et 30 Octobre 2025.
\end{abstract}

\tableofcontents{} \newpage{}

\section{Introduction}

La relativité générale est avec la physique quantique (le modèle standard
des particules) une théorie profonde mais qui avec la physique quantique
ne se marie pas. Dans cette théorie la force de la gravitation n'est
que la manifestation de la courbure même de l'espace-temps en présence
de matière (densité). L'espace-temps dit comment à la matière se comporter
et elle-même à l'espace-temps comment se courber. La physique quantique
utilise encore les espace de Minskowski qui ne sont pas courbes et
sont les espaces-temps de la relativité restreinte. Or à cet espace-temps
plat, nous associons des espace de Hilbert de dimension (n) décrivant
les interactions entre particules par leurs états $|\varphi>$. Or
il apparait dans beaucoup de situations que le produits de deux états
(A et B) ne soient pas équivalents à (B et A). C'est à dire $A.B\neq B.A$,
en résumé non commutatifs. Par ailleurs il est bon de rappeler que
les matrices de Pauli (non commutatives) ont quelque chose de \og proche\fg{}
au nombre inventé par Hamilton (Quatrenions) : \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion\%5C\%5C\%5C\%5C\%5C\%5C\%5C\#Repr.C3.A9sentation_des_quaternions_comme_matrices_2x2_de_nombres_complexes}{https://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion\#Repr.C3.A9sentation\_des\_quaternions\_comme\_matrices\_2x2\_de\_nombres\_complexes}.
Que celles-ci sont utilisées en physique quantique. L'idée la plus
simple est de penser le quadri-vecteur comme identique à celui imaginé
par Einstein mais avec des nombres (non réels) quaternions. Nous verrons
ainsi que certaines propriétes non commutatives imposent des équations
impliquant les indéterminsations de Heinsenberg de façon naturelle.

\section{Définition}

La relativité générale hypercomplexe se définie comme la RG mais avec
des composantes des quadri-vecteurs hypercomplèxes.

\subsection{Définition du quadri-vecteur}

$\overrightarrow{V}=\stackrel[\alpha=0]{3}{\sum}V^{\alpha}.\overrightarrow{e_{\alpha}}$
où $\alpha\in\{0,1,2,3\}$ et les composantes de $V^{\alpha}$ sont
des nombres quaternions.

\subsection{Définition des quaternions}

$V^{\alpha}\epsilon\mathbb{H}$ ensemble des quaternions, noté $\mathbb{H}$
tel $V^{\alpha}=V^{\alpha i}.h_{i}$ $i\in\{0,1,2,3\}$ avec $h_{1}.h_{2}.h_{3}=-1$,
$h_{i}.h_{i}=-1$ pour $i\neq0$ Ce qui donne pour un quadri-vecteur
hypercomplèxe : $\overrightarrow{V}=\stackrel[\alpha=0]{3}{\sum}\stackrel[i=0]{3}{\sum}V^{\alpha i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}$
$i\in\{0,1,2,3\}$ $\alpha\in\{0,1,2,3\}$

\subsection{Notation d'Einstein}

Les notations d'Einstein lorsqu'elles sont sans ambiguïtés sont :
$\overrightarrow{V}=V^{\alpha}.\overrightarrow{e_{\alpha}}$ où la
somme est sous entendu sur les indices hauts ou bas.

\section{Postulat}

\subsection*{1er postulat}

Le principe d'équivalence reste vrai.

\subsection*{2eme postulat}

Les coordonnées de l'espace-temps sont hypercomplèxes (cf : Nombres
Quaternions).

\section{Notations diverses (dérivées covariantes, anti-commutateur, etc.)}

\subsection{Dérivée covariante des coordonnées}

On note la dérivée covariante par coordonnée :
\[
\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}=\frac{\partial}{\partial(x^{\mu i}.h_{i})}=\frac{\partial}{\partial x^{\mu i}.h_{i}+x^{\mu i}.\partial h_{i}}
\]
Posons
\[
\partial h_{i}=H_{i\mu}^{j}.h_{j}.\partial x^{\mu}
\]
d'où
\[
\frac{\partial h_{i}}{\partial x^{\mu}}=H_{i\mu}^{j}.h_{j}
\]
or
\[
\partial x^{\mu}=\partial x^{\mu i}.h_{i}+x^{\mu i}.\partial h_{i}
\]
donc
\[
\frac{\partial h_{i}}{H_{i\mu}^{j}.h_{j}}=\partial x^{\mu i}.h_{i}+x^{\mu i}.\partial h_{i}
\]
\[
\partial x^{\mu i}.h_{i}=\frac{\partial h_{i}}{H_{i\mu}^{j}.h_{j}}-x^{\mu i}.\partial h_{i}=(\frac{1}{H_{i\mu}^{j}.h_{j}}-x^{\mu i}).\partial h_{i}
\]
\[
\partial x^{\mu i}.h_{i}.H_{i\mu}^{j}.h_{j}=(1-H_{i\mu}^{j}.h_{j}.x^{\mu i}).\partial h_{i}
\]
d'où $\partial h_{i}=\frac{\partial x^{\mu i}.h_{i}.H_{i\mu}^{j}.h_{j}}{(1-H_{i\mu}^{j}.h_{j}.x^{\mu i})}$
avec $h_{i}.h_{j}=\delta_{ij}^{k}.h_{k}$ et en introduisant l'opérateur
commutateur de la physique quantique :
\begin{equation}
[h_{i},h_{j}]=2.\delta_{ij}^{k}.h_{k}
\end{equation}
Alors
\begin{equation}
\partial h_{i}=\frac{\partial x^{\mu i}.H_{i\mu}^{j}.\delta_{ij}^{k}.h_{k}}{2.(1-H_{i\mu}^{j}.h_{j}.x^{\mu i})}
\end{equation}


\subsection{Dérivée covariante des $h_{i}$}

\[
\partial_{\mu}h_{i}=H_{\mu i}^{j}.h_{j}
\]


\section{Tenseurs}

Nous devons re-définir un certain nombre de grandeurs telle que la
courbure, en effet comme nous étendons la définition de quadri-vecteur,
la courbure va s'étendre en faisant apparaître des termes supplémentaires.
Ceux-ci, et on le constatera, pourront se coupler entre eux. L'intérêt
est que nous retrouverons le tenseur courbure de Riemann $R_{\mu\gamma\nu}^{\alpha}$
et de Ricci $R_{\mu\nu}$, puis d'autre qui pouront être associés
à d'autres champs physiques, qui de plus pourront se coupler entre
eux et s'autocoupler. Pour re-définir ces tenseurs nous devons reprendre
les calculs de transport d'un quadri-vecteur, faisant apparaitre bien
évidemment les symboles de Christoffel $\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}$
\url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Symboles_de_Christoffel}, et donc
le tenseur de courbure. Mais d'autres tenseurs tels que : $H_{\mu i}^{j}$
$\Phi_{\mu j}^{i}$, dont $\Phi_{\mu j}^{i}$ est le tenseur de \og courbure\fg{}
métrique de Weyl \url{http://classiques.uqac.ca/collection_sciences_nature/fabre_lucien/Nouvelle_figure_du_monde/Nouvelle_figure_du_monde.htm\#AppendiceI}(qui
fera apparaitre le champ $F_{\mu\nu}$électromagnétique). Et $H_{\mu i}^{j}$
qui introduira d'autres tenseurs... Dont la signification physique
sera à discuter.

\subsection{Transport d'un quadri-vecteur et tenseur de courbure de Riemann}

\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=2.5]{2110_transport}\caption{transport quadri-vecteur}
\end{figure}

Soit $\overrightarrow{X}$ un quadri-vecteur $x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}$
On utilise la jauge d'échelle de Weyl \href{http://luth2.obspm.fr/~luthier/nottale/arLecce.pdf}{http://luth2.obspm.fr/$\sim$luthier/nottale/arLecce.pdf}ou
\href{http://classiques.uqac.ca/collection_sciences_nature/fabre_lucien/Nouvelle_figure_du_monde/Nouvelle_figure_du_monde.htm\%5C\%5C\%5C\%5C\%5C\%5C\%5C\#AppendiceI}{http://classiques.uqac.ca/collection\_sciences\_nature/fabre\_lucien/Nouvelle\_figure\_du\_monde/Nouvelle\_figure\_du\_monde.htm\#AppendiceI}Les
liens suivants vont vous être utiles ! \url{https://dournac.org/sciences/tensor_calculus/node29.html#SECTION00614000000000000000}
\url{https://dournac.org/sciences/tensor_calculus/node30.html} \url{https://dournac.org/sciences/tensor_calculus/node40.html}
\[
x^{\alpha i}=x^{\alpha}.\varphi^{i}
\]
Soit la dérivée covariante
\[
\nabla_{\mu}=\frac{d}{dx^{\mu}}
\]
et
\[
\nabla_{\nu}=\frac{d}{dx^{\nu}}
\]
Nous allons faire le calcul suivant
\[
(\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}-\nabla_{\nu}.\nabla_{\mu})\overrightarrow{X}
\]
Qui est nul dans un espace euclidien sans métrique de Weyl. Commençons
par
\[
\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\mu}(x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}})=\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}})
\]
Avec la définition des symboles de Christoffel
\begin{equation}
\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}=\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}
\end{equation}
Et avec
\begin{equation}
\partial_{\mu}h_{i}=H_{\mu i}^{j}.h_{j}
\end{equation}
Puis
\begin{equation}
\partial_{\mu}\varphi^{i}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}
\end{equation}
\[
\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}})
\]
On pose
\[
\gamma_{\mu}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}.\overrightarrow{e^{\alpha}}
\]
Or on peut invoquer les symboles de Kronecker avec :
\[
\overrightarrow{e_{\beta}}.\overrightarrow{e^{\alpha}}=\delta_{\beta}^{\alpha}
\]
On obtient une quantité indiquant comment ce comporte la connexion
dans l'espace utilisé (Riemannien et hypercomplèxe) lors du parcours
d'un quadri-vecteur...
\begin{equation}
\gamma_{\mu}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}
\end{equation}
Donc
\[
\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}
\]
Commençons le calcul $\nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}$.
\[
\nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\nu}(\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}})
\]
\begin{multline*}
\nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}=\partial_{\nu}\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+x^{\alpha}.(\partial_{\nu}\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}})
\end{multline*}
Nous allons former le calcul $\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}$.
\begin{multline*}
\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}=\partial_{\mu}\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.(\gamma_{\nu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+x^{\alpha}.(\partial_{\mu}\gamma_{\nu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\nu}).\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}})
\end{multline*}
Nous devons évaluer $\partial_{\nu}\gamma_{\mu}$ et $\partial_{\mu}\gamma_{\nu}$
\begin{equation}
\partial_{\nu}\gamma_{\mu}=\partial_{\nu}(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha})
\end{equation}
\begin{multline*}
\partial_{\nu}\gamma_{\mu}=\partial_{\nu}\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\partial_{\nu}\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}\\
+\Phi_{\mu j}^{i}.\partial_{\nu}\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.\partial_{\nu}H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}\\
+\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\nu}h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.\partial_{\nu}h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}\\
+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\partial_{\nu}\delta_{\beta}^{\alpha}
\end{multline*}
\begin{equation}
\partial_{\mu}\gamma_{\nu}=\partial_{\mu}(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha})
\end{equation}
\begin{multline*}
\partial_{\mu}\gamma_{\nu}=\partial_{\mu}\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\partial_{\mu}\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}\\
+\Phi_{\nu j}^{i}.\partial_{\mu}\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.\partial_{\mu}H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}\\
+\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\mu}h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.\partial_{\mu}h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}\\
+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\partial_{\mu}\delta_{\beta}^{\alpha}
\end{multline*}
Formons la différence de transport d'un quadri-vecteur
\begin{multline*}
\nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}-\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}=\partial_{\nu}\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+x^{\alpha}.(\partial_{\nu}\gamma_{\mu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\gamma_{\mu}).\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}})\\
-\partial_{\mu}\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.(\gamma_{\nu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}+x^{\alpha}.(\partial_{\mu}\gamma_{\nu}).\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+x^{\alpha}.(\gamma_{\nu}).\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}})
\end{multline*}
Donc avec $\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}=\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}$
$\partial_{\mu}h_{i}=H_{\mu i}^{j}.h_{j}$ $\partial_{\mu}\varphi^{i}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}$
$\gamma_{\mu}=\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}$
La différence de transport devient
\begin{multline*}
\nabla_{\nu}.\nabla_{\mu}\overrightarrow{X}-\nabla_{\mu}.\nabla_{\nu}\overrightarrow{X}=\\
\partial_{\nu}\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}+\partial_{\mu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+x^{\alpha}.[\partial_{\nu}\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\partial_{\nu}\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\partial_{\nu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}+\Phi_{\mu j}^{i}.\partial_{\nu}\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.\partial_{\nu}H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.\partial_{\nu}h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}\\
+\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\nu}h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.\partial_{\nu}h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\nu}\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}].\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
+x^{\alpha}.(\Phi_{\mu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}\\
-\partial_{\mu}\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\overrightarrow{e_{\alpha}}-\partial_{\nu}x^{\alpha}.\Phi_{\mu i}^{j}.\varphi^{i}.h_{j}.\overrightarrow{e_{\alpha}}-\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.H_{\mu i}^{j}.h_{j}.\overrightarrow{e_{\alpha}}-\partial_{\nu}x^{\alpha}.\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}\\
-\partial_{\mu}x^{\alpha}.(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
-x^{\alpha}.[\partial_{\mu}\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\partial_{\mu}\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\partial_{\mu}\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}+\Phi_{\nu j}^{i}.\partial_{\mu}\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.\partial_{\mu}H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.\partial_{\mu}h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}\\
+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\partial_{\nu}\delta_{\beta}^{\alpha}+\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.\partial_{\mu}h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.\partial_{\mu}h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\partial_{\mu}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\partial_{\mu}\delta_{\beta}^{\alpha}].\overrightarrow{e_{\alpha}}\\
-x^{\alpha}.(\Phi_{\nu j}^{i}.\varphi^{j}.h_{i}+\varphi^{i}.H_{\nu i}^{j}.h_{j}+\varphi^{i}.h_{i}.\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}.\delta_{\beta}^{\alpha}).\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}
\end{multline*}
\begin{equation}
\partial_{\mu}\overrightarrow{e_{\alpha}}=\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}.\overrightarrow{e_{\beta}}=\Gamma_{\mu\alpha}^{\alpha}.\overrightarrow{e_{\alpha}}
\end{equation}
\begin{equation}
\ensuremath{[\nabla_{\nu},\nabla_{\mu}]\overrightarrow{X}=R_{\ \sigma\mu\nu}^{(\Gamma)\rho}X^{\sigma}\overrightarrow{e_{\rho}}+F_{j\mu\nu}^{i}X^{j}\overrightarrow{e_{i}}+T_{n\mu\nu}^{m}X^{n}\overrightarrow{e_{m}}+C_{\mu\nu}X\overrightarrow{e}}
\end{equation}

Étape 3: Identification des Termes

\subsection{Tenseur d'Einstein/Riemann Standard :}

\begin{equation}
\ensuremath{R_{\ \sigma\mu\nu}^{(\Gamma)\rho}X^{\sigma}\overrightarrow{e_{\rho}}=\varphi^{i}h_{i}\left(\partial_{\nu}\Gamma_{\mu\sigma}^{\rho}-\partial_{\mu}\Gamma_{\nu\sigma}^{\rho}+\Gamma_{\nu\lambda}^{\rho}\Gamma_{\mu\sigma}^{\lambda}-\Gamma_{\mu\lambda}^{\rho}\Gamma_{\nu\sigma}^{\lambda}\right)x^{\alpha}\overrightarrow{e_{\alpha}}}
\end{equation}

C'est le tenseur qui mène aux équations d'Einstein $\ensuremath{R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}}$,
quand contracté à Ricci.

\subsection{Champ Weyl/EM (F pour \textgreek{F}) :}

\begin{equation}
\ensuremath{F_{j\mu\nu}^{i}X^{j}\overrightarrow{e_{i}}=\left(\partial_{\nu}\Phi_{\mu j}^{i}-\partial_{\mu}\Phi_{\nu j}^{i}+[\Phi_{\mu j}^{i},\Phi_{\nu i}^{j}]\right)\varphi^{j}h_{i}x^{\alpha}\overrightarrow{e_{\alpha}}}
\end{equation}

{Le {[} , {]} est le commutateur quaternionique. Ça ressemble au
tenseur EM $\ensuremath{F_{\mu\nu}=\left(\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}+[A_{\mu},A_{\nu}]\right)}$}

\subsection{Champ Quaternionique (T pour H) :}

\begin{equation}
\ensuremath{T_{n\mu\nu}^{m}X^{n}\overrightarrow{e_{m}}=\left(\partial_{\nu}H_{\mu n}^{m}-\partial_{\mu}H_{\nu n}^{m}+[H_{\mu n}^{m},H_{\nu m}^{n}]\right)\varphi^{n}h_{m}x^{\alpha}\overrightarrow{e_{\alpha}}}
\end{equation}

Ça introduit une torsion ou champ spin-like.

\subsection{Couplages Croisés (C) : Les termes mixtes (regroupés des lignes avec
\textgreek{F} \textgreek{G} \textgreek{f}, H \textgreek{G} \textgreek{f},
etc.) :}

\begin{equation}
\ensuremath{C_{\mu\nu}X\overrightarrow{e}=\left(\Phi_{\mu j}^{i}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}\varphi^{j}h_{i}\delta_{\beta}^{\alpha}-\Phi_{\nu j}^{i}\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}\varphi^{j}h_{i}\delta_{\beta}^{\alpha}+H_{\mu n}^{m}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}\varphi^{n}h_{m}\delta_{\beta}^{\alpha}-H_{\nu n}^{m}\Gamma_{\mu\alpha}^{\beta}\varphi^{n}h_{m}\delta_{\beta}^{\alpha}+[\Phi,H]+...\right)x^{\alpha}\overrightarrow{e_{\alpha}}}
\end{equation}


\section{Lagrangiens Possibles pour RGH}

Pour dériver les équations de champ et les couplages de RGH, nous
proposons des lagrangiens variationnels. Le lagrangien total est de
la forme $L=L_{\grav}+L_{\Phi}+L_{H}+L_{\coup}+L_{mat}$, où chaque
terme capture un aspect de la théorie.

\subsection{Lagrangien Gravitationnel Standard}

Le terme classique d'Einstein-Hilbert :
\begin{equation}
L_{\grav}=\frac{1}{16\pi G}R,
\end{equation}
où $R$ est le scalaire de courbure.

\subsection{Lagrangien pour le Champ $\Phi$ (Jauge Weyl)}

Inspired by Weyl gravity, a kinetic term for $\Phi$:
\begin{equation}
L_{\Phi}=-\frac{1}{4}F_{j\mu\nu}^{i}F_{i}^{j\mu\nu},
\end{equation}
où $F_{j\mu\nu}^{i}=\partial_{\nu}\Phi_{\mu j}^{i}-\partial_{\mu}\Phi_{\nu j}^{i}+[\Phi_{\mu j}^{i},\Phi_{\nu i}^{j}]$.

\subsection{Lagrangien pour le Champ $H$ (Quaternionique)}

Un terme similaire pour $H$:
\begin{equation}
L_{H}=-\frac{1}{4}T_{n\mu\nu}^{m}T_{m}^{n\mu\nu},
\end{equation}
où $T_{n\mu\nu}^{m}=\partial_{\nu}H_{\mu n}^{m}-\partial_{\mu}H_{\nu n}^{m}+[H_{\mu n}^{m},H_{\nu m}^{n}]$.

\subsection{Termes de Couplages}

Des termes mixtes, par ex. pour $\Gamma$-$\Phi$:
\begin{equation}
L_{\coup}^{\Gamma\Phi}=\kappa\Phi_{\mu j}^{i}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}\Phi_{\beta i}^{j},
\end{equation}
et pour $\Gamma$-$H$:
\begin{equation}
L_{\coup}^{\Gamma H}=\lambda H_{\mu n}^{m}\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}H_{\beta m}^{n},
\end{equation}
où $\kappa,\lambda$ sont des constantes de couplage.

\subsection{Lagrangien Total et Variation}

L'action totale :
\begin{equation}
S=\int\sqrt{-g}(L_{\grav}+L_{\Phi}+L_{H}+L_{\coup}+L_{mat})d^{4}x.
\end{equation}
Variation $\delta S=0$ reproduit les équations reconstruites de (5.7),
avec $\Theta_{\mu\nu}$ émergent des couplages.

\section{Dérivation des Équations de Champ à partir du Lagrangien}

Les équations de champ sont dérivées par variation de l'action $S$.

\section{Stabilité du Lagrangien et théorème d'Ostrogradsky}

Le théorème d'Ostrogradsky établit qu'un système dont le Lagrangien
dépend de dérivées temporelles d'ordre supérieur d'une variable dynamique
de manière non dégénérée conduit à un Hamiltonien non borné inférieurement,
engendrant une instabilité fondamentale. Ce résultat, démontré initialement
pour les systèmes à une dimension, s'étend naturellement aux théories
de champs relativistes.

\subsection{Rappel du cadre général}

Pour un système défini par une variable généralisée $q(t)$ et un
Lagrangien $\mathcal{L}(q,\dot{q},\ddot{q})$, la procédure canonique
conduit à l'Hamiltonien suivant :

\begin{equation}
H=P_{1}\dot{q}+P_{2}\ddot{q}-\mathcal{L}(q,\dot{q},\ddot{q}),
\end{equation}

où les moments conjugués sont
\begin{align}
P_{1} & =\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\ddot{q}}\right),\\
P_{2} & =\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\ddot{q}}.
\end{align}

Si $\mathcal{L}$ dépend non dégénérément de $\ddot{q}$ (c'est-à-dire
si $\partial^{2}\mathcal{L}/\partial\ddot{q}^{2}\neq0$), alors $H$
dépend linéairement de $P_{1}$ et n'est pas borné inférieurement
:
\begin{equation}
H\to\pm\infty\quad\text{lorsque}\quad P_{1}\to\pm\infty.
\end{equation}

Ce comportement traduit l'\emph{instabilité d'Ostrogradsky}, qui rend
la théorie physiquement non viable (énergie non bornée, apparition
de modes fantômes).

\subsection{Application à la Relativité Générale Hypercomplexe (RGH)}

Dans la formulation hypercomplexe de la métrique, notée $\tilde{g}_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}+j\,g'_{\mu\nu}$
avec $j^{2}=+1$, le Lagrangien gravitationnel généralisé s'écrit
:
\begin{equation}
\mathcal{L}_{RGH}=\frac{1}{16\pi G}\,\tilde{R}(\tilde{g}_{\mu\nu}),
\end{equation}
où $\tilde{R}$ désigne le scalaire de Ricci construit sur la connexion
associée à $\tilde{g}_{\mu\nu}$.

En développant $\tilde{R}$ selon les composantes réelles et hypercomplexes,
on obtient :
\begin{equation}
\mathcal{L}_{RGH}=\mathcal{L}_{EH}(g_{\mu\nu})+j\,\mathcal{L}'(g_{\mu\nu},g'_{\mu\nu},\partial g'_{\mu\nu}),
\end{equation}
où $\mathcal{L}_{EH}$ est le Lagrangien d'Einstein'Hilbert usuel
et $\mathcal{L}'$ ne contient que des dérivées d'ordre premier des
composantes hypercomplexes.

Ainsi, la dépendance du Lagrangien complet ne dépasse pas le second
ordre en dérivées de la métrique réelle $g_{\mu\nu}$, et aucune dérivée
d'ordre supérieur n'apparaît dans le secteur hypercomplexe. Les variables
$g'_{\mu\nu}$ jouent le rôle de champs auxiliaires dégénérés, entièrement
déterminés par les équations de champ couplées :
\begin{equation}
\frac{\delta\mathcal{L}_{RGH}}{\delta g'_{\mu\nu}}=0.
\end{equation}


\subsection{Conséquence : stabilité dynamique}

La dégénérescence de la dépendance en dérivées supérieures empêche
la construction d'un Hamiltonien linéairement dépendant des moments
conjugués. L'énergie effective associée à la dynamique hypercomplexe
reste bornée inférieurement, garantissant l'absence d'instabilité
d'Ostrogradsky et la cohérence énergétique du système.

En résumé, la RGH appartient à la classe des théories de gravité modifiées
\emph{stables et sans fantômes}, préservant la borne inférieure de
l'énergie et la cohérence dynamique de la métrique généralisée.

\subsection{Équations pour la Gravité}

Variation par rapport à la métrique $g_{\mu\nu}$ donne les équations
d'Einstein modifiées :
\begin{equation}
Ric_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}+\Theta_{\mu\nu},
\end{equation}
où $\Theta_{\mu\nu}$ est le tenseur énergie-impulsion des champs
$\Phi$, $H$ et couplages, dérivé comme :
\begin{equation}
\Theta_{\mu\nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta(\sqrt{-g}(L_{\Phi}+L_{H}+L_{\coup}))}{\delta g^{\mu\nu}}.
\end{equation}
Par exemple, pour $L_{\Phi}$, $\Theta_{\mu\nu}^{(\Phi)}=F_{\mu\lambda}F^{\lambda}{}_{\nu}-\frac{1}{4}g_{\mu\nu}F^{2}$.

\subsection{Équations pour le Champ $\Phi$}

Variation par rapport à $\Phi_{\mu j}^{i}$ donne les équations de
Maxwell généralisées :
\begin{equation}
\nabla^{\mu}F_{j\mu\nu}^{i}=J_{j\nu}^{i}+\kappa\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}\Phi_{\beta i}^{j},
\end{equation}
où $J_{j\nu}^{i}=\frac{\delta L_{mat}}{\delta\Phi_{\nu j}^{i}}$ est
le courant associé, et le terme $\kappa$ représente le couplage à
la gravité.

\subsection{Équations pour le Champ $H$}

Variation par rapport à $H_{\mu n}^{m}$ donne :
\begin{equation}
\nabla^{\mu}T_{n\mu\nu}^{m}=K_{n\nu}^{m}+\lambda\Gamma_{\nu\alpha}^{\beta}H_{\beta m}^{n},
\end{equation}
où $K_{n\nu}^{m}=\frac{\delta L_{mat}}{\delta H_{\nu n}^{m}}$ est
le courant associé, et le terme $\lambda$ capture le couplage gravitationnel.
Ces équations montrent comment les couplages modifient les dynamiques
des champs, menant à des effets émergents comme la matière noire.
\end{document}
