Table des matières

1. Introduction

La relativité générale est avec la physique quantique (le modèle standard des particules) une théorie profonde mais qui avec la physique quantique ne se marie pas. Dans cette théorie la force de la gravitation n’est que la manifestation de la courbure même de l’espace-temps en présence de matière (densité). L’espace-temps dit comment à la matière se comporter et elle-même à l’espace-temps comment se courber.

La physique quantique utilise encore les espace de Minskowski qui ne sont pas courbes et sont les espaces-temps de la relativité restreinte. Or à cet espace-temps plat, nous associons des espace de Hilbert de dimension (n) décrivant les interactions entre particules par leurs états |φ >. Or il apparait dans beaucoup de situations que le produits de deux états (A et B) ne soient pas équivalents à (B et A). C’est à dire A.B≠B.A, en résumé non commutatifs.

Par ailleurs il est bon de rappeler que les matrices de Pauli (non commutatives) ont quelque chose de « proche » au nombre inventé par Hamilton (Quatrenions) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion#Repr.C3.A9sentation_des_quaternions_comme_matrices_2x2_de_nombres_complexes. Que celles-ci sont utilisées en physique quantique.

L’idée la plus simple est de penser le quadri-vecteur comme identique à celui imaginé par Einstein mais avec des nombres (non réels) quaternions. Nous verrons ainsi que certaines propriétes non commutatives imposent des équations impliquant les indéterminsations de Heinsenberg de façon naturelle.

2. Définition

La relativité générale hypercomplexe se définie comme la RG mais avec des composantes des quadri-vecteurs hypercomplèxes.

2.1. Définition du quadri-vecteur. = = 0]3∑ V ^α. où α ∈{0, 1, 2, 3} et les composantes de V ^α sont des nombres quaternions.

2.2. Définition des quaternions. V ^αϵℍ ensemble des quaternions, noté ℍ tel V ^α = V ^αi.h _i i ∈{0, 1, 2, 3} avec h₁.h₂.h₃ = -1, h_i.h_i = -1 pour i≠0

Ce qui donne pour un quadri-vecteur hypercomplèxe : = = 0]3∑ = 0]3∑ V ^αi.h _i. i ∈{0, 1, 2, 3} α ∈{0, 1, 2, 3}

2.3. Notation d’Einstein. Les notations d’Einstein lorsqu’elles sont sans ambiguïtés sont : = V ^α. où la somme est sous entendu sur les indices hauts ou bas.

3. Postulat

1er postulat. Le principe d’équivalence reste vrai.

2eme postulat. Les coordonnées de l’espace-temps sont hypercomplèxes (cf : Nombres Quaternions).

4. Notations diverses (dérivées covariantes, anti-commutateur, etc.)

4.1. Dérivée covariante des coordonnées. On note la dérivée covariante par coordonnée :

Posons

d’où

or

donc

d’où

∂h_i = avec h_i.h_j = δ_ij^k.h _k et en introduisant l’opérateur commutateur de la physique quantique :[h_i,h_j] = h_i.h_j - h_j.h_i = h_i.h_j + h_i.h_j = 2.δ_ij^k.h _k

(4.1)

Alors

(4.2)

4.2. Dérivée covariante des h_i.

5. Tenseurs

Nous devons re-définir un certain nombre de grandeurs telle que la courbure, en effet comme nous étendons la définition de quadri-vecteur, la courbure va s’étendre en faisant apparaître des termes supplémentaires. Ceux-ci, et on le constatera, pourront se coupler entre eux.

L’intéret est que nous retrouverons le tenseur courbure de Riemann R_μγν^α et de Ricci R _μν, puis d’autre qui pouront être associés à d’autres champs physiques, qui de plus pourront se coupler entre eux et s’autocoupler.

Pour re-définir ces tenseurs nous devons reprendre les calculs de transport d’un quadri-vecteur, faisant apparaitre bien évidemment les symboles de Christoffel Γ_μα^β http://fr.wikipedia.org/wiki/Symboles_de_Christoffel, et donc le tenseur de courbure. Mais d’autres tenseurs tels que : H_μi^j Φ _μjⁱ, dont Φ _μjⁱ est le tenseur de « courbure » métrique de Weyl http://classiques.uqac.ca/collection_sciences_nature/fabre_lucien/Nouvelle_figure_du_monde/Nouvelle_figure_du_monde.htm#AppendiceI (qui fera apparaitre le champ F_μνélectromagnétique). Et H_μi^j qui introduira d’autres tenseurs... Dont la signification physique sera à discuter.

5.1. Transport d’un quadri-vecteur et tenseur de courbure de Riemann.

Soit un quadri-vecteur x^αi.h _i. On utilise la jauge d’échelle de Weyl

http://luth2.obspm.fr/~luthier/nottale/arLecce.pdf

ou

http://classiques.uqac.ca/collection_sciences_nature/fabre_lucien/Nouvelle_figure_du_monde/Nouvelle_figure_du_monde.htm#AppendiceI

Les liens suivants vont vous être utiles !

https://dournac.org/sciences/tensor_calculus/node29.html#SECTION00614000000000000000

https://dournac.org/sciences/tensor_calculus/node30.html

https://dournac.org/sciences/tensor_calculus/node40.html

Soit la dérivée covariante

et

Nous allons faire le calcul suivant

Qui est nul dans un espace euclidien sans métrique de Weyl.

Commençons par

Avec la définition des symboles de Christoffel

(5.1)

Et avec

(5.2)

Puis

(5.3)

On pose

Or on peut invoquer les symboles de Kronecker avec :

On obtient une quantité indiquant comment ce comporte la connexion dans l’espace utilisé (Riemannien et hypercomplèxe) lors du parcours d’un quadri-vecteur...

(5.4)

Donc

Commençons le calcul ∇_ν.∇_μ.

Nous allons former le calcul ∇_μ.∇_ν.

(5.5)

(5.6)

Formons la différence de transport d’un quadri-vecteur

Donc avec

∂_μ = Γ_μα^β. ∂_μh_i = H_μi^j.h _j

∂_μφⁱ = Φ _μjⁱ.φ^j

γ_μ = Φ_μjⁱ.φ^j.h _i + φⁱ.H _μi^j.h _j + φⁱ.h _i.Γ_μα^β.δ _β^α

La différence de transport devient

les expressions ∂_νγ_μ et ∂_μγ_ν deviennent

Donc ∇_ν.∇_μ -∇_μ.∇_ν devient

avec ∂_μφⁱ = Φ _μjⁱ.φ^j et ∂ _μh_i = H_μi^j.h _j et δ_i^j.δ _i^j = 1 avec = δ_β^α. cela devient :

devient :

(5.7)

(5.8)