La cosmologie RGH étudie comment les secteurs géométriques et internes peuvent contribuer à l’expansion, à la contraction et, dans certains modèles, à un rebond.

Les travaux comprennent plusieurs constructions : réductions homogènes et isotropes, corrections effectives activées, scénarios par domaines et fermeture semi-quantique de la dynamique tardive.

Ces constructions n’ont pas toutes les mêmes hypothèses. Une solution obtenue dans un modèle effectif ne constitue pas, à elle seule, une dérivation à partir de l’action complète de la RGH.

1. Le cadre homogène et isotrope

On utilise une métrique de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker :

$$ ds^2=-dt^2+a(t)^2\gamma_{ij}\,dx^i dx^j, \qquad H=\frac{\dot a}{a}. $$

Dans cette page, les équations sont écrites avec c = 1. La densité ρ est une densité d’énergie ; la pression possède les mêmes unités.

Lorsque la dynamique peut être organisée sous une forme d’Einstein effective :

$$ H^2+\frac{k}{a^2} = \frac{8\pi G}{3}\rho_{\mathrm{tot}}, $$ $$ \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3} \left(\rho_{\mathrm{tot}}+3p_{\mathrm{tot}}\right). $$

Les quantités totales comprennent les composantes matérielles et les contributions effectives retenues. Une éventuelle constante cosmologique peut être incluse comme une composante de pression opposée à sa densité.

Cette écriture doit être accompagnée des équations des champs internes et des contraintes qui déterminent les contributions effectives.

2. Les conditions d’un rebond

Un rebond régulier correspond à un passage de la contraction à l’expansion, avec :

$$ a(t_b)>0, \qquad H(t_b)=0, \qquad \dot H(t_b)>0. $$

La seule annulation de H ne suffit pas : elle peut aussi correspondre à un arrêt de l’expansion avant une contraction.

Dans la description effective précédente :

$$ \dot H = -4\pi G(\rho_{\mathrm{tot}}+p_{\mathrm{tot}}) +\frac{k}{a^2}. $$

Pour un fond spatialement plat, un rebond impose donc :

$$ \rho_{\mathrm{tot}}(t_b)=0, \qquad \rho_{\mathrm{tot}}(t_b)+p_{\mathrm{tot}}(t_b)<0. $$

La seconde condition est une violation effective de la condition d’énergie nulle pour un fluide isotrope.

Une contribution géométrique effective peut satisfaire cette condition sans être identifiée d’emblée à une particule d’énergie négative. L’absence d’instabilité doit néanmoins être démontrée dans la théorie sous-jacente.

3. Ce que donnent les secteurs minimaux

Secteur ou régime Conséquence dans le modèle considéré
Weyl purement temporel et homogène Sa courbure d’échelle est nulle ; le terme Maxwell pur ne contribue pas au fond.
Secteur interne de type Yang–Mills classique isotrope en quatre dimensions Il possède une équation d’état radiative dans le régime minimal.
Couplages et corrections géométriques Leur densité et leur pression doivent être dérivées à partir de l’action.
Extension octonionique activée Elle peut introduire des contributions supplémentaires, dont le signe et la stabilité restent à calculer.

Pour le secteur interne radiatif séparément conservé :

$$ p_A=\frac{\rho_A}{3}, \qquad \rho_A\propto a^{-4}. $$

Cette loi de dilution ne fixe pas à elle seule le signe d’une correction gravitationnelle. Un terme Yang–Mills standard à énergie positive ne devient pas une contribution négative par simple changement d’interprétation.

4. Un modèle effectif à deux termes

Une note RGH étudie la paramétrisation :

$$ \rho_{\mathrm{eff}}(a) = \frac{\alpha}{a^2} - \frac{\beta}{a^4}, \qquad \alpha>0,\quad\beta>0. $$

Il s’agit ici d’un modèle effectif. L’origine du signe négatif et le calcul des coefficients doivent être justifiés par une construction dynamique.

Si cette composante est séparément conservée :

$$ \dot\rho_{\mathrm{eff}} + 3H(\rho_{\mathrm{eff}}+p_{\mathrm{eff}})=0, $$

sa pression est :

$$ p_{\mathrm{eff}}(a) = -\frac{\alpha}{3a^2} - \frac{\beta}{3a^4}. $$

Dans le cas plat, sans autre composante, l’équation de Friedmann devient :

$$ H^2 = \frac{8\pi G}{3} \left( \frac{\alpha}{a^2} - \frac{\beta}{a^4} \right). $$

Elle admet, avec l’équation d’accélération, la solution :

$$ a(t)^2 = \frac{\beta}{\alpha} + \frac{8\pi G\alpha}{3}(t-t_b)^2. $$

On obtient :

$$ a_b=\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}, \qquad \dot H(t_b) = \frac{8\pi G\alpha^2}{3\beta}>0. $$

Le rebond est donc un résultat formel de ce modèle précis. Ajouter matière, rayonnement, courbure spatiale ou échanges entre secteurs modifie les conditions.

Au rebond, la densité effective s’annule alors que la pression reste finie. Le rapport pression/densité n’y est pas défini : il faut examiner directement les équations, plutôt que ce rapport.

5. Un autre modèle : saturation à densité critique

Les notes numériques explorent également une prescription distincte :

$$ H^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho\left(1-\frac{\rho}{\rho_\star}\right), \qquad \rho_\star>0. $$

Ici, ρ représente le fluide de départ et ρ⋆ une densité critique constante postulée.

En conservant l’équation usuelle de continuité, la branche dynamique régulière vérifie :

$$ \dot H = -4\pi G(\rho+p) \left(1-\frac{2\rho}{\rho_\star}\right). $$

À la densité critique :

$$ H=0, \qquad \dot H=4\pi G(\rho_\star+p_\star). $$

Le rebond est possible si cette dernière quantité est positive.

Cette prescription n’est pas identique au modèle à deux termes précédent. Par exemple, pour un fluide radiatif, sa correction quadratique en densité varie comme l’inverse de la huitième puissance du facteur d’échelle.

6. Activation géométrique et conservation

Une activation peut être représentée par une fonction d’un invariant et d’un seuil :

$$ \Theta^{\mathrm{act}}_{\mu\nu} = \mathcal A\!\left(\frac{\mathcal I}{\mathcal I_\star}\right) \Theta_{\mu\nu}. $$

Le choix de l’invariant, sa dimension et la signification du seuil doivent être précisés.

Une activation variable apporte un terme supplémentaire dans la divergence :

$$ \nabla^\mu\Theta^{\mathrm{act}}_{\mu\nu} = (\nabla^\mu\mathcal A)\Theta_{\mu\nu} + \mathcal A\,\nabla^\mu\Theta_{\mu\nu}. $$

Multiplier une contribution par une fonction d’activation ne garantit donc pas sa conservation. Les équations complètes doivent fournir les échanges ou les termes supplémentaires nécessaires.

Si l’invariant dépend du tenseur conforme de Weyl, il faut aussi tenir compte de son annulation en FLRW exact. Un déclenchement de ce type demande des inhomogénéités ou des anisotropies.

7. Rebonds par domaines

Le scénario par domaines envisage des régions dont l’activation et le rebond diffèrent selon les conditions locales.

Un modèle jouet des notes associe, dans chaque domaine, une composante radiative positive et une correction négative de type raide :

$$ \rho_i(a_i) = \frac{R_i}{a_i^4} - \frac{S_i}{a_i^6}, \qquad R_i>0,\quad S_i>0. $$

Les pressions correspondantes sont :

$$ p_i(a_i) = \frac{R_i}{3a_i^4} - \frac{S_i}{a_i^6}. $$

Dans une approximation locale plate, négligeant cisaillement, gradients et échanges, le zéro de la densité donne :

$$ a_{b,i}^2=\frac{S_i}{R_i}. $$

La condition d’accélération est alors satisfaite dans ce modèle local.

Assembler ces domaines ne fournit pas automatiquement une solution globale. Il reste à traiter les raccordements, les contraintes gravitationnelles, les flux et les anisotropies.

La survie des étoiles ou des galaxies demande une étude distincte des forces de marée, du chauffage et des temps dynamiques. Elle ne découle pas de la seule existence d’un minimum du facteur d’échelle.

8. Fermeture semi-quantique et expansion tardive

Une autre note explore une relation entre une observable interne quantifiée, un seuil effectif et une amplitude cosmologique.

Elle distingue l’amplitude microscopique de celle utilisée dans la description cosmologique. Leur relation de projection est une hypothèse supplémentaire.

Sous un verrouillage tardif des modes et une loi de dilution postulée, la fermeture proposée prend la forme :

$$ (1-\mu Q_{\mathrm{eff}}^2)H^2 - \nu Q_{\mathrm{eff}}H - \left( \frac{8\pi G}{3}\rho +\frac{\Lambda}{3} -\frac{k}{a^2} +\sigma Q_{\mathrm{eff}}^2 \right)=0. $$

La résolution donne une valeur de H en fonction des paramètres et de l’état du système. La branche expansive doit être sélectionnée en vérifiant la réalité des racines, leur signe et les conditions initiales.

Cette fermeture ne constitue pas encore une prédiction indépendante de H₀ : elle demande de déterminer les couplages et la projection microscopique sans utiliser H₀ comme calibration circulaire.

La positivité du coefficient de H² dans cette équation ne remplace pas une analyse de stabilité de l’action perturbée.

9. Confrontation aux observations

Un scénario cosmologique complet doit permettre de calculer et de comparer :

  • l’histoire de l’expansion ;
  • la nucléosynthèse primordiale ;
  • le fond diffus cosmologique et ses perturbations ;
  • la croissance des structures ;
  • les signatures propres à une éventuelle phase de contraction ou de rebond.

Une même histoire d’expansion peut correspondre à plusieurs descriptions effectives. Pour distinguer la RGH d’un fluide ajouté phénoménologiquement, il faut aussi établir la dynamique des perturbations et les relations entre observables.

Documents de référence

  • Champ répulsif effectif et réduction FLRW minimale dans le cadre RGH, avril 2026.
  • Application numérique hypothétique : rebond « stellaire » et addenda sur les domaines, février 2026.
  • Fermeture semi-quantique minimale de H₀ en RGH, avril 2026.

Les solutions présentées ici sont conditionnelles aux modèles explicités. La dérivation complète, la stabilité et la validation observationnelle constituent des étapes distinctes.

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