Le secteur de Weyl introduit une connexion d’échelle dans la géométrie de la RGH. Son rôle dépend de la formulation étudiée : compatibilité conforme, dynamique propre ou participation à des mécanismes d’activation.
Il doit être distingué du secteur hypercomplexe interne et de la structure symplectique. Leurs interactions nécessitent des termes de couplage explicitement définis.
1. Une connexion d’échelle
On représente le champ de Weyl par une 1-forme :
$$ \varphi=\varphi_\mu\,dx^\mu. $$Avec la convention retenue ici, la connexion de Weyl vérifie :
$$ \nabla^W_\lambda g_{\mu\nu} = -2\varphi_\lambda g_{\mu\nu}. $$Cette relation décrit la non-métricité associée au transport d’échelle.
Sous un changement local d’échelle :
$$ g_{\mu\nu}\longmapsto e^{2\sigma}g_{\mu\nu}, \qquad \varphi_\mu\longmapsto\varphi_\mu-\partial_\mu\sigma, $$la relation conserve sa forme pour une même connexion de Weyl.
L’invariance de l’action complète demande en outre de préciser les transformations des autres champs et des éventuelles échelles de masse.
2. Courbure d’échelle et intégrabilité
La courbure d’échelle est :
$$ F^{(\varphi)}=d\varphi, \qquad F^{(\varphi)}_{\mu\nu} = \partial_\mu\varphi_\nu-\partial_\nu\varphi_\mu. $$| Régime | Propriété |
|---|---|
| Weyl intégrable | La courbure d’échelle est nulle ; localement, la connexion est une forme exacte. |
| Weyl non intégrable | La courbure d’échelle est non nulle. |
Dans le cas intégrable, une transformation d’échelle peut annuler localement la connexion. Cette opération transforme aussi les champs porteurs d’un poids conforme. Sa portée physique dépend des symétries du modèle complet et des conditions globales.
La connexion de Weyl n’est pas le tenseur de Weyl. Le second désigne la partie conforme de la courbure d’espace-temps. Il peut être nul dans une géométrie FLRW sans que toute connexion d’échelle soit, par définition, absente.
3. Une dynamique minimale de type Maxwell
Un choix de modèle consiste à introduire, en unités naturelles et avec la signature métrique (-,+,+,+) :
$$ S_\varphi = -\frac{Z_\varphi}{4} \int d^4x\,\sqrt{-g}\, F^{(\varphi)}_{\mu\nu}F^{(\varphi)\mu\nu}, \qquad Z_\varphi>0. $$Pour un coefficient constant, sans source ni autre couplage, l’équation du champ est :
$$ \nabla_\mu F^{(\varphi)\mu\nu}=0. $$Ce choix donne une dynamique à la courbure d’échelle. Il ne fixe pas à lui seul tous les couplages de Weyl à la géométrie émergente ou à la matière.
4. Ce qui subsiste dans un fond FLRW
Considérons un champ respectant l’homogénéité et l’isotropie sous la forme :
$$ \varphi=\varphi_0(t)\,dt. $$Alors :
$$ d\varphi=0. $$Le terme cinétique Maxwell pur ne contribue donc pas au tenseur énergie-impulsion de ce fond.
Un effet cosmologique supplémentaire demande d’autres ingrédients : couplages, potentiel, champs compensateurs, dépendance du secteur gravitationnel ou configurations dont on justifie l’isotropisation.
Un ensemble de configurations Maxwell non nulles, isotropisé et séparément conservé, peut se comporter comme du rayonnement :
$$ p_\varphi=\frac{\rho_\varphi}{3}, \qquad \rho_\varphi\propto a^{-4}. $$Ce régime est distinct de l’ansatz purement temporel précédent. Une contribution proportionnelle à l’inverse du carré du facteur d’échelle ne découle pas du seul terme Maxwell : elle exige une autre construction ou une paramétrisation effective explicitée.
5. Couplage direct avec le secteur hypercomplexe
La note consacrée au couplage faible organise l’action sous la forme :
$$ S = S_{\mathrm{geom}} + S_\varphi + S_H + \varepsilon S_{\mathrm{mix}} + S_{\mathrm{matiere}}. $$Le paramètre ε pondère ici les interactions directes regroupées dans le terme mixte.
- ε nul : ces termes explicites disparaissent.
- ε faible : ils peuvent être traités perturbativement si leurs contributions restent effectivement petites.
- Couplage significatif : les équations doivent être étudiées comme un système interactif.
La petitesse d’un coefficient ne suffit pas si les amplitudes des champs ou leurs gradients compensent cette petitesse.
La forme des interactions doit respecter les symétries retenues. Une contraction entre courbures de secteurs différents nécessite notamment une prescription pour leurs indices internes.
6. Interaction indirecte par la géométrie
Même sans terme mixte explicite, deux secteurs dynamiques peuvent contribuer à la même géométrie observable.
Le champ de Weyl influence alors la géométrie qui intervient dans les équations hypercomplexes, et réciproquement, lorsque leurs contributions sont non nulles.
Si la métrique est elle-même construite à partir des champs fondamentaux, ses dépendances doivent également être prises en compte dans la variation de l’action.
Supprimer un terme d’interaction directe ne démontre donc pas un découplage complet.
Il faut aussi distinguer les couplages dans l’action des termes croisés dans une courbure. Annuler le coefficient ε ne suffit pas à annuler un commutateur géométrique : ce dernier dépend de la représentation des connexions.
7. Proposition bi-Weyl
Une autre note explore deux champs abéliens partageant une seule métrique observable :
$$ W^{(1)},\qquad W^{(2)}. $$On introduit les combinaisons :
$$ W^{(+)} = \frac{W^{(1)}+W^{(2)}}{\sqrt2}, \qquad W^{(-)} = \frac{W^{(1)}-W^{(2)}}{\sqrt2}. $$Elles définissent un mode moyen et un mode relatif.
Pour deux termes Maxwell de même normalisation et un mélange cinétique ε, la diagonalisation donne :
$$ \mathcal L_{\mathrm{cin}} = -\frac14(1+\varepsilon)F^{(+)}_{\mu\nu}F^{(+)\mu\nu} -\frac14(1-\varepsilon)F^{(-)}_{\mu\nu}F^{(-)\mu\nu}. $$Les deux coefficients cinétiques sont positifs lorsque :
$$ |\varepsilon|<1. $$Dans cette section, ε désigne le mélange entre les deux champs abéliens ; il n’est pas nécessairement le coefficient Weyl–hypercomplexe de la section précédente.
La positivité cinétique est un contrôle partiel. Les masses, les contraintes et les interactions doivent également être examinées.
Un terme de masse relatif demande de préciser les symétries conservées et la signature utilisée. Pour un mode de type Proca massif, purement temporel et homogène, sans source ni autre couplage, l’équation impose que ce mode soit nul : on ne peut donc pas lui attribuer arbitrairement une densité cosmologique non nulle.
Le modèle bi-Weyl reste une proposition d’extension dont la réalisation géométrique et la dynamique complète sont à préciser.
8. Activation et invariance
Une prescription d’activation doit indiquer quelle quantité physique contrôle le seuil.
La connexion d’échelle se transforme sous un changement local d’échelle. Une fonction de sa seule composante temporelle ne constitue donc pas automatiquement un critère invariant.
Le modèle doit préciser s’il utilise un invariant, un champ compensateur ou une jauge fixée, et justifier l’interprétation physique correspondante.
9. Place dans le programme RGH
Le secteur de Weyl fournit un langage pour le transport d’échelle et ses interactions possibles avec la géométrie interne.
Son rôle cosmologique dépend de l’action et du régime considérés. Il faut déterminer, pour chaque solution, les contributions effectives, les échanges entre secteurs et la stabilité.
Dans RGH‑λO, le secteur de Weyl demeure présent dans l’architecture générale. Sa dynamique couplée à l’activation octonionique constitue un développement supplémentaire.
Documents de référence
Cette synthèse s’appuie notamment sur les notes de travail du 23 avril 2026 :
- Interaction entre un champ hypercomplexe et un champ de Weyl — Régime de couplage faible ou nul dans le cadre RGH.
- Mini-secteur bi-Weyl compatible avec la RGH.
Les paramétrisations cosmologiques proposées dans ces notes doivent être distinguées des conséquences directement dérivées de leurs actions minimales.